Crittografia con sistema caotico

Iniziamo con il definire cosa sono i sistemi caotici (come l’Attrattore di Lorenz):

• Non lineari: Non seguono una semplice proporzionalità diretta.
• Deterministici: Seguono equazioni precise (non sono casuali).
• Sensibili alle condizioni iniziali: Una variazione infinitesimale all’inizio porta a risultati completamente diversi dopo poco tempo (il famoso “effetto farfalla”).

Perché usarli in crittografia?

Poiché è impossibile conoscere le condizioni iniziali esatte del trasmettitore, il segnale generato appare come “rumore” imprevedibile a chiunque lo intercetti. Tuttavia, se conosciamo il sistema, non è vero rumore, ma caos strutturato.

Il Problema della Sincronizzazione

Se abbiamo due sistemi caotici identici, uno che trasmette (Master, $x(t)$) e uno che riceve (Slave, $z(t)$), normalmente divergeranno rapidamente.

L’obiettivo è forzare il ricevitore ($z$) a seguire esattamente il trasmettitore ($x$) in modo che l’errore tra i due ($e(t)$) vada a zero.

$$e(t)=x(t)-z(t)\to 0$$

Per fare ciò, inviamo un segnale di sincronizzazione $s(x)$ dal Master allo Slave:

$$s(x)=f(x)+Kx$$

Il Trasmettitore (Master)

Il sistema originale è descritto da:

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bf(x)$$

• $Ax(t)$: Parte lineare.
• $Bf(x)$: Parte non lineare (la fonte del caos).

Il Ricevitore (Slave) con Correzione

Il ricevitore ha la stessa struttura, ma viene aggiunto un termine di correzione derivato dal segnale $s(x)$ ricevuto:

$$\dot{z}(t)=Az(t)+Bf(z)+\underset{Terminidicorrezione}{\underbrace{B(f(x)+Kx)-B(f(z)+Kz)}}$$

L’obiettivo della correzione è cancellare la differenza tra i due sistemi.

La Dinamica dell’Errore

Sottraendo l’equazione del ricevitore da quella del trasmettitore, otteniamo la derivata dell’errore $\dot{e}(t)$:

$$\dot{e}(t)=A(z(t)-x(t))+BKx+BKz=Ae-BKe=(A-BK)e$$

Questa è la classica equazione di un Osservatore di Stato. Se scegliamo la matrice $K$ in modo corretto, possiamo spostare gli autovalori (eigenvalues) della matrice $(A-BK)$ nel semipiano negativo reale (${\mathbb{R}}^{-}$). L’errore $e(t)$ decade esponenzialmente a 0. I due sistemi sono ora sincronizzati ($x=z$).

Osservazione

Il ruolo funzionale del sistema Slave è quello di un Osservatore. Il suo scopo non è stabilizzare il Master (che deve rimanere caotico/instabile!), ma solo ricostruirne (osservarne) lo stato $x(t)$ partendo da un’informazione parziale $s(x)$.