Forma diagonale

Usiamo questa forma quando vogliamo “disaccoppiare” il sistema, ogni variabile di stato diventa indipendente dalle altre. Con questa rappresentazione rendiamo la matrice $A$ diagonal, ovvero con i valori solo sulla diagonal principale. Questi valori sono gli autovalori (${\lambda }_1,{\lambda }_2,...$) di $A$ cioè i poli del nostro sistema.

Data una generica rappresentazione dello stato:

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

Se la matrice $A$ ha $n$ autovalori distinti ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, esiste una trasformazione di coordinate $x=Tz$ che porta il sistema nella forma:

La Matrice $A$

$$A_{diag}=\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

Ogni elemento sulla diagonal principale rappresenta un polo della funzione di trasferimento del sistema.

Le Matrici $B$ e $C$

In questa forma, i vettori $B$ e $C$ assumono un significato fisico preciso:

• $B_{diag}=[b_1,b_2,...,b_n{]}^T$: Se un elemento $b_i=0$, l’i-esimo modo non è eccitabile dall’ingresso (non controllabile).
• $C_{diag}=[c_1,c_2,...,c_n]$: Se un elemento $c_i=0$, l’i-esimo modo non è osservabile dall’uscita.

Esempio

Avendo questo sistema di partenza:

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u$$ $$y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]x$$

Il primo passo è trovare gli autovalori risolvendo $\det (\lambda I-A)=0$:

$$\det \left[\begin{array}{cc}\lambda & -1\\ 2& \lambda +3\end{array}\right]={\lambda }^2+3\lambda +2=0⟹(\lambda +1)(\lambda +2)=0$$

Gli autovalori sono ${\lambda }_1=-1$ e ${\lambda }_2=-2$. Per calcolare la matrice di trasformazione $T$ dobbiamo trovare gli autovettori $v_1$ e $v_2$ risolvendo $(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$.

• Per ${\lambda }_1=-1$, l’autovettore è $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$
• Per ${\lambda }_2=-2$, l’autovettore è $v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$

La matrice di trasformazione è:

$$T=[v_1|v_2]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]$$

Usando $\tilde{A}=T^{-1}AT$, otteniamo:

$$\dot{z}=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -2\end{array}\right]z+\tilde{B}u$$