Linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio

La linearizzazione è un passaggio fondamentale nello studio dei sistemi dinamici, essa ci permette di "approssimare" il comportamento di un sistema complesso e non lineare con uno lineare (molto più semplice da studiare) nelle immediate vicinanze di un punto di equilibrio. Partiamo da un sistema dinamico espresso da un’equazione differenziale vettoriale non lineare:

$$\dot{x}=f(x,u)$$

Dove:

• $x$ è lo stato del sistema.
• $u$ è l’ingresso.
• $f$ è una funzione non lineare.

Un punto di equilibrio $(x_0,u_0)$ è una condizione in cui il sistema, se non disturbato, rimane fermo. Matematicamente:

$$f(x_0,u_0)=0$$

Per linearizzare, ci spostiamo di una piccola quantità $\delta x$ e $\delta u$ dal punto di equilibrio:

• $x=x_0+\delta x$
• $u=u_0+\delta u$

Espandiamo la funzione $f(x,u)$ in serie di Taylor attorno a $(x_0,u_0)$, fermandoci al primo ordine (trascurando i termini di ordine superiore):

$$\dot{x}\approx f(x_0,u_0)+{\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(x_0,u_0)}\delta x+{\frac{\partial f}{\partial u}|}_{(x_0,u_0)}\delta u$$

Siccome $f(x_0,u_0)=0$ (per definizione di equilibrio) e $\dot{x}={\dot{x}}_0+\dot{\delta x}=\dot{\delta x}$, otteniamo il sistema linearizzato. Il sistema finale assume la classica forma lineare tempo-invariante (LTI):

$$\dot{\delta x}=A\delta x+B\delta u$$

Le matrici $A$ e $B$ sono chiamate Matrici Jacobiane e contengono le derivate parziali calcolate nel punto di equilibrio:

Descrive la dinamica interna: $A={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]}_{(x_0,u_0)}$

Descrive come l’ingresso influenza lo stato: $B={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial u_1}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial u_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1}& \dots & \frac{\partial f_n}{\partial u_m}\end{array}\right]}_{(x_0,u_0)}$