Panoramica sulla Crittografia

La crittografia è la scienza che permette di rendere un messaggio incomprensibile a chiunque non sia autorizzato a leggerlo. È l’arte di proteggere le informazioni trasformandole in un formato illeggibile.

I due tipi principali di crittografia

Esistono due modi principali per proteggere i dati, ognuno con uno scopo diverso. Innanzitutto iniziamo con il definire il crittosistema che è una quintupla di elementi $(P,C,K,E,D)$ con:

• $P$: plaintexts (testo in chiaro)
• $C$: cyphertexts (testo cifrato)
• $K$: insieme delle chiavi
• $E$: encryption
• $D$: decryption

Crittografia Simmetrica (La stessa chiave)

È il metodo più antico e veloce. Mittente e destinatario usano la stessa identica chiave sia per chiudere che per aprire il messaggio. Possiamo analizzare questi crittosistemi:

• Affine cypher
• Affine Hill cypher

Crittografia Asimmetrica (Chiave pubblica e privata)

Questo sistema risolve il problema dello scambio della chiave simmetrica. L’idea che sta alla base di ciò è la trapdoor function che è una funziona a senso unico con tre caratteristiche principali:

• Semplice da calcolare
• Difficile da invertire
• Se è conosciuta una determinata informazione allora è semplice da invertire.

Esempio della trapdoor function in RSA

L’algoritmo RSA si basa su una asimmetria computazionale: mentre la cifratura del messaggio è un’operazione semplice, la decifrazione senza conoscere la chiave privata è un problema intrattabile. La sicurezza del sistema risiede nella difficoltà di fattorizzare numeri interi molto grandi: senza conoscere i fattori primi $p$ e $q$ che compongono il modulo $n=p\cdot q$, è computazionalmente infattibile calcolare la funzione $\varphi$ di Eulero, parametro indispensabile per derivare la chiave privata.

In questa tipologia di crittografia si usano due chiavi diverse ma matematicamente collegate:

• Chiave Pubblica: La condividiamo con tutti. Chiunque può usarla per criptare un messaggio per noi (chiuderlo).
• Chiave Privata: La teniamo solo per noi. È l’unica che può decifrare (aprire) i messaggi criptati con la nostra chiave pubblica.

Curva ellittica (richiamo minimo)

Una curva ellittica su un campo finito ${\mathbb{F}}_p$​ ha forma: $y^2=x^3+ax+b(\mathrm{mod}p)$ con una legge di gruppo definita sui punti della curva + il punto all’infinito $\mathcal{O}$.

Possiamo analizzare questi crittosistemi:

• RSA
• Diffie-Hellman
• El-Gamal