Affine cypher

Il Cifrario Affine è un classico sistema di crittografia a sostituzione monoalfabetica. Per usare il cifrario affine, dobbiamo prima mappare ogni lettera dell’alfabeto a un numero intero. Usando l’alfabeto internazionale di 26 lettere:

• A = 0, B = 1, …, Z = 25.
• Il modulo ($m$) è 26.

Problema per la sicurezza

Essendo un cifrario monoalfabetico (una lettera viene sempre sostituita dalla stessa lettera cifrata), mantiene le caratteristiche statistiche della lingua.

Processo di Cifratura

La chiave del cifrario è costituita da due numeri interi, $a$ e $b$. La funzione di cifratura per una lettera $x$ è definita dall’equazione lineare:

$$E(x)=(ax+b)(\mathrm{mod}m)$$

Dove:

• $x$: è il numero corrispondente alla lettera in chiaro.
• $a$: è il coefficiente moltiplicativo (parte della chiave).
• $b$: è il coefficiente additivo (traslazione, parte della chiave).
• $m$: è la dimensione dell’alfabeto (solitamente 26).

Una regola fondamentale per " $a$"

Per poter decifrare il messaggio, la funzione deve essere invertibile. Questo accade solo se $a$ e $m$ sono coprimi (cioè il loro massimo comun divisore è 1). Se $m=26$, i possibili valori di $a$ sono: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25.

Processo di Decifratura

Per decifrare, dobbiamo invertire la funzione. La formula di decifratura è:

$$D(x)=a^{-1}(x-b)(\mathrm{mod}m)$$

Attenzione all'inverso di a

Qui $a^{-1}$ non è $1/a$ in senso classico, ma è l’inverso moltiplicativo modulare di $a$. È quel numero che, moltiplicato per $a$, dà 1 modulo 26.

Considerazioni sul numero di chiavi disponibili

Essendo $a^{-1}$ invertibile se e solo se $gcd(a,26)=1$ la $a$ può assumere solo il numero di valori invertibili in ${\mathbb{Z}}_{26}$. Questo numero di valori invertibili possiamo calcolarlo tramite la $\varphi$ di Eulero che nel nostro caso è 13. La variabile $b$ può assumere valori da $\{0,\dots ,25\}$ quindi in tutto 26 valori. Quindi il numero di chiavi disponibili per questo crittosistema è $13\ast 26=338$.