Forma canonica di osservabilità

Questa forma è particolarmente utile perché permette di verificare l’osservabilità del sistema e facilita la progettazione di osservatori dello stato (come il filtro di Kalman o l’osservatore di Luenberger).

Consideriamo un sistema descritto dalla funzione di trasferimento:

$$G(s)=\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$

La matrice $A$ presenta i coefficienti del denominatore della funzione di trasferimento (cambiati di segno) nell’ultima colonna, mentre la “diagonal superiore” è composta da 1.

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_0\\ 1& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& 1& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right]$$

I coefficienti del numeratore della funzione di trasferimento compongono direttamente la matrice $B$.

$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right]$$

La matrice $C$ seleziona l’ultimo elemento dello stato, mentre $D$ è solitamente nulla se il sistema è strettamente proprio.

$$C=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& 1\end{array}\right],D=[0]$$

Questa è la forma duale della forma canonica di raggiungibilità. Se trasponiamo le matrici della forma di osservabilità, ottieniamo la forma di raggiungibilità di un sistema correlato. Un sistema espresso in questa forma è sempre completamente osservabile, a patto che non vi siano cancellazioni polo-zero nella funzione di trasferimento originale. Questa forma è "comoda" perché permette di imporre i poli dell'osservatore semplicemente scegliendo i guadagni che modificano l'ultima colonna della matrice A - LC.

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Schema a blocchi