Forma canonica di controllo

Usiamo questa rappresentazione quando vogliamo imporre al sistema un comportamento desiderato tramite il ritorno di stato ($u=-Kx$).

Dato un sistema descritto dalla funzione di trasferimento:

$$G(s)=\frac{b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$

Nella forma canonica di controllo, le matrici $A$, $B$, $C$ assumono una struttura “fissa” basata sui coefficienti del denominatore e del numeratore:

Matrice di stato $A$: Presenta una riga (solitamente l’ultima) contenente i coefficienti del polinomio caratteristico cambiati di segno, e una “sopradiagonale” di 1.

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$

Matrice di ingresso $B$: È un vettore colonna nullo tranne che nell’ultimo elemento.

$$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

Matrice di uscita $C$: Contiene i coefficienti del numeratore.

$$C=\left[\begin{array}{cccc}{b}_0& b_1& \dots & b_{n-1}\end{array}\right]$$

Un sistema in questa forma è, per definizione, completamente raggiungibile. La matrice di raggiungibilità ha rango massimo. I coefficienti dell’ultima riga di $A$ sono esattamente i coefficienti del polinomio caratteristico $P(s)=\det (sI-A)$. Questo rende banale il calcolo degli autovalori. Se applichiamo una retroazione dello stato, cambiare i poli del sistema equivale semplicemente a sommare i valori di K agli elementi dell'ultima riga di A.

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Schema a blocchi