Matrice di raggiungibilità

La matrice di raggiungibilità è uno strumento fondamentale nell'automatica per determinare se è possibile guidare un sistema dinamico da uno stato iniziale a un qualsiasi stato finale desiderato in un tempo finito, agendo esclusivamente sugli ingressi. Dove $x$ è il vettore di stato di dimensione $n$, la raggiungibilità dipende esclusivamente dalle matrici $A$ (matrice dinamica) e $B$ (matrice degli ingressi). Per un sistema con $n$ stati, la matrice di raggiungibilità è definita come la composizione a blocchi delle potenze della matrice $A$ moltiplicate per $B$:

$R=[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]$

Se lo stato ha dimensione $n$ e l’ingresso ha dimensione $m$, la matrice $R$ avrà dimensioni $n\times (n\cdot m)$. Un sistema si dice completamente raggiungibile se e solo se la matrice R ha rango pieno, ovvero:

$$\text{rank}(R)=n$$

Se il rango è inferiore a $n$, il sistema presenta una parte non raggiungibile: esistono cioè degli stati che non possono essere influenzati dall’ingresso $u(t)$, indipendentemente da quanto sforzo o tempo si applichi.

Perché ci fermiamo a $n-1$

Potrebbe sembrare strano fermarsi alla potenza $A^{n-1}B$. Questo deriva dal Teorema di Cayley-Hamilton, il quale afferma che ogni matrice quadrata soddisfa il proprio polinomio caratteristico. Di conseguenza, le potenze di $A$ superiori o uguali a $n$ (come $A^n,A^{n+1},\dots$) sono combinazioni lineari delle potenze precedenti ($I,A,\dots ,A^{n-1}$). Aggiungere ulteriori blocchi alla matrice non ne aumenterebbe quindi il rango.