Compensatore dinamico basato sull'osservatore

In ambito di teoria del controllo, il Compensatore Dinamico basato sull'osservatore è la soluzione standard quando vogliamo controllare un sistema ma non possiamo misurarne tutti gli stati interni (cosa che accade quasi sempre nella realtà). Possiamo unire le nozioni viste in precedenza del controllore e dell’osservatore per realizzare il compensatore dinamico che stima lo stato del sistema, e usiamo quella stima per decidere l’azione di controllo. Per descrivere il sistema in forma di stato del compensatore dinamico, dobbiamo unire le equazioni dell’osservatore e la legge di controllo. Il compensatore è esso stesso un sistema dinamico che ha come ingressi le misure del sistema reale ($y$) e come uscita l’azione di controllo ($u$).

Le equazioni di partenza

Ricordiamo le due componenti che abbiamo discusso:

1. L’osservatore di Luenberger: $\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$
2. La legge di controllo (retroazione della stima): $u=-K\hat{x}$

Derivazione della forma di stato del compensatore

Sostituiamo la legge di controllo ($u=-K\hat{x}$) nell’equazione della dinamica dell’osservatore per eliminare la variabile $u$:

$$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+B(-K\hat{x})+Ly-LC\hat{x}$$

Ora raggruppiamo i termini che dipendono dalla stima dello stato $\hat{x}$:

$$\dot{\hat{x}}=(A-BK-LC)\hat{x}+Ly$$

La forma di stato finale

Il compensatore dinamico può essere visto come un sistema a sé stante dove lo “stato interno” del controllore è proprio $\hat{x}$. Le sue equazioni sono:

$$\{\begin{array}{l}\dot{\hat{x}}=\underset{A_{comp}}{\underbrace{(A-BK-LC)}}\hat{x}+\underset{B_{comp}}{\underbrace{L}}y\\ u=\underset{C_{comp}}{\underbrace{-K}}\hat{x}\end{array}$$

Dove:

• Stato del compensatore: $\hat{x}$
• Ingresso del compensatore: $y$ (l’uscita del processo reale)
• Uscita del compensatore: $u$ (l’azione di controllo da inviare al processo)

---

Schema a blocchi